Por A. Henriques-Christophides*
Vamos a hablar de campos de inteligibilidad y hemos primero de justificar por qué. Si hubiera conocimientos completamente aislados, ellos serían de poquísimo valor. Sin embargo la cuestión no se plantea, por cuanto tales conocimientos no existen. Todo conocimiento depende de condiciones previas de posibilidad y estas involucran otros conocimientos. ¿Cómo se puede entonces empezar a conocer, se preguntarán? Es una cuestión sin solución, salvo introduciendo preliminares trascendentales o, alternativamente, biológicos. Según Piaget, biólogo de formación, el desarrollo cognitivo constituye un proceso natural adaptativo sin comienzo absoluto, solidario del grande proceso adaptativo del viviente. Segundo punto igualmente importante, dicho desarrollo involucra una verdadera necesidad interna vinculada a los grandes mecanismos formadores y a sus coordinaciones endógenas.
A sí se constituyen campos de inteligibilidad, es decir dominios donde el sujeto comprende lo que conoce. Lo que quiere decir "comprender", no es fácil explicarlo. La epistemología genética sin rechazar completamente cuestiones de este tipo, prefiere plantear cuestiones más directamente accesible a la investigación efectiva, por ejemplo:
- ¿Cómo pasa el sujeto de un nivel de comprensión a un nivel de mejor comprensión? ¿Qué quiere decir comprender mejor? ¿Cómo se produce la mejor comprensión?
La explicación del desarrollo de campos de inteligibilidad en matemáticas y en física es una de las metas de la epistemología genética según su programa científico original. Resumiendo con extremo podemos decir: - En el dominio matemático hay inteligibilidad para el sujeto cuando hay actividades estructurantes equilibradas, es decir cuando se constituyen campos operatorios. Esto comienza ya en el plano de las acciones materiales por cuanto la inteligencia se desarrolla, según Piaget, a partir del nivel sensorio motor. En el dominio físico, hay inteligibilidad cuando el sujeto comprende lo que pasa en el mundo, es decir lo que hacen los agentes de los procesos materiales considerados.
El proceso epistémico central es aquí entonces la atribución por el sujeto, de operaciones a los objetos físicos, fundamentalmente epistemológicos, según Piaget, de la causalidad.
Lo que hace comprender son siempre, según Piaget, operaciones, es decir actividades estructurantes organizadas en sistemas equilibrados. Estas actividades organizan los contenidos de conocimiento actuales, como pudieran organizar muchos otros contenidos posibles. Los contenidos actuales preséntanse, por consiguiente, como posibilidades realizadas entre muchas otras posibilidades, y dichas últimas, aunque no realizadas, quedan sin embargo virtualmente presentes. El sujeto establece relaciones necesarias entre todas estas posibilidades, lo que no pudiera hacer sin hundir los contenidos actuales de conocimiento en campos de posibilidades que los sobrepasen.
Las operaciones hállanse siempre, por definición, coordinadas en sistemas, constituyendo campos operatorios. Actividades estructurantes y contenidos estructurados, operatividad y inteligibilidad, están indisociablemente vinculadas como los dos frentes, subjetiva y objetiva de una misma totalidad epistemológica. Los campos operatorios presentan al mismo tiempo características de sistemas cerrados y abiertos, como los organismos vivientes. Su carácter cerrado exprime la totalización de las posibilidades operatorias del sistema y funda la necesidad inherente al campo como totalidad. Su carácter abierto proviene de la posibilidad de transferir las operaciones a nuevos contenidos siempre diferentes de las precedentes.
Hablaremos más delante de estructuras, en el sentido de formas de organización de campos operatorios. Suelen confundirse los campos operatorios y sus formas de organización; sin embargo, aquí necesitamos distinguirlos. Sinó, las expresiones "estructura" y "campo operatorio" divendrían sinónimas, lo que no resulta conveniente para el análisis que proyectamos hacer.
El programa científico de la epistemología genética prevé investigaciones históricas y psicogenéticas comparadas de todos los procesos fundamentales del desarrollo cognitivo, interesándose particularmente a los pasajes entre diferentes niveles. Consideraremos aquí algunos ejemplos extraídos de la historia de las matemáticas y de la física, que ilustrarán de manera accesoria el método de la epistemología genética. Resumiendo las posiciones epistemológicas que vamos a sostener, podemos decir:
- Los campos operatorios en juego en el conocimiento matemático no exigen la toma de consciencia de las operaciones utilizadas, y menos aún la reflexión sobre sus formas de organización. En el conocimiento físico, por el contrario, las operaciones atribuidas constituyen, de necesidad, objeto de toma de conciencia por el sujeto, por cuanto la atribución explícita supone que éste último conozca aquello que atribuye. De ahí entonces que en matemática, ciencia que puede hacer abstracción de todos los objetos materiales, los primeros campos operatorios son campos operatorios materiales, mientras que en física, ciencia de los objetos materiales, los primeros campos operatorios son ya campos operatorios formales.
En la perspectiva no trascendentalista de Piaget, es importante que los primeros campos operatorios sean campos de operaciones materialmente realizadas por los sujetos. La arqueología, la etnología y la historia de las ciencias proveen ejemplos aleccionadores de tales operaciones desde la noche de los tiempos hasta nuestros días. Problemas prácticos de contaje, de medida, de trazado de figuras, de contabilidad, han ocupado casi desde siempre nuestros semejantes y los han llevado a desarrollar técnicas eficaces de tratamiento y de registro. Ellos utilizaban las manos y otras partes del cuerpo y servíanse también de entalladuras, nudos, perlas enhiladas o simples acervos de piedras como medios de enumeración, de registro y de cálculo. La palabra "cálculo", de que hay equivalentes en muchas familias lingüísticas testifica, por sí misma de una práctica muy antigua.
Los mesopotamios, elamitas, egipcios, cretenses, hititas, griegos, romanos, chinos, indios, mayas y otros, han todos empezado por sistemas de contaje y cálculo concretos. El grafismo de las cifras copia en ciertos casos la forma de objetos que han empezado por existir materialmente. Sitios arqueológicos mesolíticos y neolíticos en una vasta zona desde
Las acciones materiales encadénanse paso a paso en secuencias con reglas propias, que se aprenden por descomposición y recomposición. Los tipos de problemas que se plantean en este nivel corresponden a los diferentes modos de segmentación de las cadenas operatorias. Las acciones materiales no alcanzan sino a aspectos sucesivos de las cosas, mientras que las operaciones discursivas alcanzan a marcos conceptuales de conjunto. Las matemáticas prácticas iniciales no están, sin embargo, completamente desprovistas de elementos discursivos, pero dichos elementos, relativamente aislados, quedan sin organización de conjunto. Podemos hablar entonces de preoperaciones formales, por cuanto los campos discursivos que se constityen no fundan todavía una inteligibilidad propia. Este concepto de preoperación formal parécenos necesario para caracterizar actividades mentales de naturaleza inferencial no constituyendo sistemas globales equilibrados, como lo hacen las actividades materiales que acompañan.
Vayamos a las matemáticas formales inauguradas por los griegos. Ellas presentan desde el comienzo características esenciales propias mezcladas con particularidades culturales del pueblo que las creó. Para enfocar estas particularidades sería necesario considerar los desarrollos correspondientes en otros medio culturales, particularmente las matemáticas chinas y indias. Tal no es nuestro propósito aquí. Las palabras "teoría" y "teorema", de una raíz que quiere decir "ver", expresan bien el ideal contemplativo de la ciencia griega. Pero ellas expresan además el realismo primitivo común a todas las formas no críticas de pensamiento científico o no científico.
Este realismo separa los objetos matemáticos construidos de las condiciones operatorias de su construcción, lo que se manifiesta en todas las ramas de las matemáticas griegas. Los números eran concebidos como independientes de las operaciones aritméticas y las figuras como independientes de su construcción, a pesar de la insistencia obsesiva sobre las construcciones geométricas con la regla y el compás, con todas sus consecuencias limitativas. El cálculo era practicado, pero considerado sin valor científico. Esta desvalorización epistemológica del cálculo impidió la constitución del álgebra como rama de la matemática, a pesar de toda la virtuosidad operatorioa de Diofanto. Las dos mayores creaciones de las matemáticas antiguas, la teoría de las proporciones de Eudoxio y las cuadraturas de Arquímedes por el método de exanción, manifiestan las mismas limitaciones intrínsecas. Las proporciones de Eudoxio quedan simples instrumentos para conceptualizar las relaciones de grandeza como propiedades de las figuras, sin toma de consciencia de las operaciones como origen de las relaciones, y las cuadraturas de Arquímedes son procesos de cálculo de áreas y volúmenes de figuras, sin toma de consciencia de las operaciones de integración que producen como resultado las medidas obtenidas.
Esta carencia epistémica tradúcese en el plano de la matemática ella misma por la ausencia de un continuo aritmético que pudiera desempeñar el papel de nuestro conjunto de los números reales. Esto parecerá quizá extraño, por cuanto los instrumentos conceptuales que permitieran introducir este continuo existían. Pero si ellos existían como instrumentos conceptuales, no existían sin embargo como objetos de conceptualización. Y así el continuo de los griegos quedó siempre un continuo de grandeza independientes de las operaciones que lo constituyen: el concepto de número no acompañaba la generalización del campo operatorio. Aquí intervienen los mecanismos de la toma de conciencia de la realización de operaciones sin comprenderse que los resultados son generados por ellas. Piaget da de eso un ejemplo simple: la creencia popular e infantil que sitúa los nombres en las cosas nombradas, a pesar de la toma de consciencia de la actividad de hablar.
No nos detendremos en el examen de las matemáticas medievales y modernas. El álgebra fue integrada en el dominio de la ciencia. Con la descubierta del sujeto epistémico abríase el camino para nuevas construcciones y nuevas tematizaciones que ocuparían algunos siglos. La creación de la geometría analítica por la asimilación recíproca del álgebra y de la geometría permitía por la primera vez el estudio del espacio interfigural , más allá de las figuras. Abríanse por otra parte posibilidades de generalización indefinidas en la dirección del cálculo infinitesimal.
Más tarde aparecen los operadores, es decir objetos matemáticos extraídos de la reflexión sobre las operaciones. Faltaba todavía, sin embargo la reflexión sobre los campos operatorios por sí mismos, donde nuevas formas de organización se presentan tan claramente a nuestros ojos cuando analizamos las conquistas matemáticas de entonces. La tematización de las operaciones no trae como consecuencia de inmediato la tematización de las estructuras. Puede constatarse a este propósito un retraso histórico considerable de que hablaremos más adelante.
La física por su parte plantea otros problemas epistemológicos, quizás aún más complejos que la matemática. Todo conocimiento físico proviene de acciones del sujeto sobre los objetos, desde las formas más primitivas de inter-acciones que podamos considerar. Muchas dificultades de la epistemología de la física provienen de la tentativa de circunscribir con precisión los aportes respectivos del sujeto y del objeto de conocimiento. Algunos esperaban lograr acercarse a una forma de descripción del objeto físico que eliminara el aporte del sujeto – creando así problemas inextricables. Pero los supuestos datos físicos inmediatos vienen afectados por muchísimas limitaciones; ellos no constituyen en ningún caso una base suficiente para el desarrollo de una verdadera ciencia física. Las formas primitivas de causalidad, centradas sobre los datos inmediatos de consciencia, están todas vinculadas a una subjetividad deformante. No se alcanzará jamás a la objetividad eliminando o reduciendo las actividades estructurantes del sujeto, pero al contrario, por una estructuración progresiva de los datos y por la busca de nuevos datos inspirada por las estructuraciones precedentes.
El inmenso retraso histórico de la física relativamente a las matemáticas no se explica por ende completamente por los problemas de adecuación con la realidad que la física enfrenta. Hemos indicado desde el comienzo una razón epistemológica más profunda de dicho retraso. Si la ciencia matemática es precedida por formas elementales de conocimiento práctico sin las cuales no hubiera podido desarrollarse, no puede decirse lo mismo de la física. Los campos operatorios materiales están vinculados a un pequeño número de estructuras concretas estudiadas por Piaget en colaboración con Inhelder y Szeminska bajo el nombre de "agrupamientos", en sus estudios sobre el desarrollo de las estructuras lógicas elementales, del número y del espacio. No hay estructuras físicas de nivel correspondiente. Las acciones materiales ejercidas sobre las cosas para descubrir sus propiedades físicas no constituyen por ende campos operatorios equilibrados sino mucho más tarde. Existen, sin lugar a duda, sistemas de transformaciones materiales aplicadas desde siempre por los sujetos a los objetos materiales, pero dichas transformaciones constituyen campos preoperatorios y no operatorios. Los primeros campos operatorios físicos, como dijimos, son formales.
Invocaremos la convergencia de la psicología genética y de la historia de las ciencias, limitándonos a dos ejemplos característicos cuanto a la epistemología de la física. Comparando la física y la matemática de los griegos, todos convienen en decir que dicha última es científica, mientras que la primera no lo es. ¿Por qué? Será suficiente con referirnos a la física de Aristóteles, sistema monumental perfectamente representativo de su época, el cual, gracias a su poderosa organización teórica, perduró como sistema de referencia hasta la creación de la ciencia física en el sentido moderno.
La teoría de Aristóteles es un sistema discursivo fuertemente organizado. Creador de la lógica formal, Aristóteles aplica las posibilidades operatorias ofrecidas por su creación original en el campo inmenso de la explicación de la naturaleza. El éxito incomparable de este sistema explicativo durante dos milenios testifica de la fuerza del campo operatorio utilizado, y sobre todo de su adecuación al estado de desarrollo epistémico de entonces. Refutaciones que debieran razonablemente imponerse, fueran simplemente ignoradas, como García lo muestra bien en su obra "Psicogénesis e Historia de
Es aleccionador comparar la física de Aristóteles con la mecánica de Descartes, ella también groseramente inadecuada a los hechos, a pesar de poseer un estatuto epistemológico bien superior a los sistemas precedentes. Notemos que el nivel epistémico de la física científica es próximo de aquello del álgebra y de las ramas de la matemática asimiladas al álgebra, lo que nos hace naturalmente pensar en Descartes. Ciertas simultaneidades y secuencias históricas cesan de parecer puramente contingentes, vistas así.
Como Descartes explicaba todos los fenómenos materiales por acciones de contacto, los choques y rechazos y sus leyes desempeñaban un papel decisivo en su mecánica. No había lugar ahí para "calidades ocultas", omnipresentes, por el contrario, en el sistema de Aristóteles. No había lugar tampoco para acciones a distancia sin intermediario material, del tipo de aquellas que Newton postularía medio siglo más tarde en su ley de la gravitación universal. Ahora bien, las leyes de los choques según Descartes, pieza central del entero sistema, son incorrectas. Los torbellinos de materia sutil, las partes caneladas y otros expedientes inaccesibles a la experiencia, a los cuales Descartes recurre en su mecánica, son complemente ajenos a nuestras concepciones actuales. Una vez más, la acogida entusiástica de esta teoría y la resistencia durable que ella opuso a la penetración de las ideas muy más satisfactorias de Newton son altamente instructivas.
Como Aristóteles, Descartes explicaba los fenómenos por sus causas supuestas, pero la semejanza de estos dos sistemas no va más allá. Los campos operatorios formales de estos dos autores son extremadamente diferentes el uno del otro, como son diferentes también los papeles que desempeñan las operaciones en el mecanismo de la explicación física. El campo operatorio formal de Aristóteles, exclusivamente lógico, era aplicado a la naturaleza sin tomar parte directamente en la concepción de la causalidad. Aristóteles no atribuía a los objetos físicos sino acciones y potencialidades proveniendo de asimilaciones deformantes a las acciones preoperatorias y a la intencionalidad del sujeto. Descartes disponía de campos operatorios matemáticos provistos de operaciones algebraicas y geométricas vinculadas por asimilaciones recíprocas. La atribución de dichas operaciones a la "cosa extensa", que reemplazaba para Descartes los cuerpos naturales con sus propiedades cualitativas, era así perfectamente apropiada desde el punto de vista epistemológico. Descartes podía atribuir a la "cosa extensa", extraída de su geometría más aun que de su epistemología y de su metafísica, acciones causales operatorias de unas partes sobre las otras, por cuanto los campos operatorios de que disponía involucraban operaciones matemáticas conscientes.
Servímosnos del caso ejemplar de Descartes para ilustrar la significación epistemológica fundamental de la materialización moderna de la física, que no se reduce de ninguna manera a la simple aplicación de técnicas métricas o deductivas: ella constituye, por atribución causal, el cuerpo mismo de la teoría física, que enfrentará solamente después el juicio de la experimentación.
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Quédanos hablar de la reflexión sobre las estructuras. Las estructuras o formas de organización de los campos operatorios, constituyen en todos los niveles de conocimiento el fundamente epistemológico decisivo de la inteligibilidad de los contenidos estructurados. Sin embargo, la reflexión sobre las estructuras es históricamente muy tardía, siendo típica, en todas las ramas de la ciencia, empezando por las matemáticas, de la época contemporánea. La tematización de las estructuras y la reflexión sobre el papel que ellas desempeñan en el conocimiento científico ha renovado profundamente todas las ciencias e inspirado fuertemente la epistemología genética.
La matemática contemporánea, en particular, debe muchísimo a esta tematización, a tal punto que puede decirse que ella es hoy la ciencia general de las estructuras. Las estructuras objetivadas constituyen nuevos objetos matemáticos altamente interesantes. Sobre todo, las estructuras objetivadas proveen la razón de los hechos matemáticos, que son así explicados y se tornan portadores de "objetividad intrínseca", en el sentido de Boutroux revisto por Piaget.
Nada se explica jamás por reducción a un nivel de menor estructuración. Es al contrario la integración en estructuras más elaboradas que hace comprender lo que tantas veces ya antes se sabía deducir, pero sin que la deducción sola garantizara la plena comprensión. Los campos de inteligibilidad basados sobre la tematización de las estructuras alcanzan a un nivel superior de inteligibilidad, por cuanto ellos hacen ver lo que funda la inteligibilidad. Sin embargo, la inteligibilidad no empieza con la tematización de las estructuras, ya presentes de manera instrumental antes que el sujeto fuese consciente de ellas. La presencia instrumental de las estructuras hacía comprender ya cuando el sujeto no objetivaba el fundamento de su comprensión.
Esta situación de comprensión sin capacidad de explicar las razones de inteligibilidad se produce a menudo y crea ocasiones de reflexionar buscando estas razones implícitas. Hé aquí el punto de partida funcional del trabajo cognitivo de objetivación de las estructuras. Este trabajo es progresivo y sin fin, por cuanto cada nueva conquista reflexiva plantea cuestiones que exigen a su vez nuevos esfuerzos de objetivación.
De aquí proviene una secuencia indefinida de estructuras matemáticas fundándose las unas sobre las otras, no como una pirámide apoyada sobre la base, pero, según la imagen propuesta por Piaget, como una pirámide suspensa por el vértice que se eleva siempre más, no quedando fijo. Esta imagen dinámica de la matemática refleja bien la situación epistemológica de esta disciplina después de los célebres teoremas de limitación de los formalismos, los cuales excluyen que una estructura sola pueda proveer un fundamento adecuado para todas las construcciones matemáticas posibles. Los Bourbaki han propuesto una imagen, esta vez biológica y aún más fuerte, en el célebre artículo sobre la arquitectura de la matemática, diciendo que "una estructura es un organismo en pleno desarrollo".
Hay un esquema de desarrollo recurrente en todos los procesos de objetivación de operaciones y estructuras. Operaciones ejercidas por el sujeto sin toma de consciencia tórnase más tarde conscientes gracias a nuevas operaciones que vienen agregándoseles. No se trata, sin embargo, de un simple ensanche de campo operatorio, porque los dos sistemas, aquello que es objetivado y aquello que opera el pasaje a la consciencia, no son del mismo nivel, las operaciones del último sistema quedando inconscientes hasta nuevo proceso de tematización. En cada etapa reprodúcese el proceso complejo de reflejamiento y reorganización sobre un nuevo plano, que Piaget llamó globalmente "abstracción reflexiva" o, si se prefiere, "reflexionante". El proceso de toma de consciencia no vaya a terminarse jamás, por cuanto él introduce siempre nuevas operaciones inconscientes de nivel superior.
Las actividades mentales que presiden la toma de consciencia de las estructuras son puestas en correspondencia que respetan las formas de organización de los campos operatorios. Tales puestas en correspondencias han sido objetivadas bajo el nombre general de "morfismo". Los morfismos que garantizan la tematización de las estructuras quedan inicialmente inconscientes, siendo utilizados de manera puramente instrumental. Ellos constituyen nuevos sistemas de actividades estructurantes llamados "categorías". La tematización de las categorías hace intervenir por su parte los morfismos de estructuras categoriales llamados "functores". Alcanzamos de tal manera a objetos matemáticos particularmente interesantes, como la categoría de los conjuntos y la categoría de las categorías.
Como en física, hay hechos matemáticos todavía no explicados, pero el análisis estructural nos hizo comprender ya la significación de los hechos matemáticos en general, la distinción desde siempre sentida entre resultados matemáticos profundos y resultados más o menos triviales y, en el caso de los hechos matemáticos conocidos como hechos, pero no explicados, hácenos comprender qué tipo de explicación habrá que buscarse.
FIN
* Colaborador cercano de Jean Piaget en el Centro de Epistemología Genética. Entre otras colaboraciones, es co-autor de los capítulos I ("El andar a gatas") y III ("La marcha en retroceso de una pelota de ping-pong y de un aro") de la obra La toma de conciencia, Madrid, Ediciones Morata, 1976.
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